この命題は、一般位相幾何学において「距離空間（より一般に第1可算空間）はコンパクト生成空間（k-空間）である」という重要な性質に基づいています。
以下に証明のステップを示します。
空間 $X$ に含まれるすべてのコンパクト部分集合の族を $\mathcal{K} = \{K \subset X \mid K \text{ はコンパクト} \}$ とします。$X$ は距離化可能空間であるため、当然ハウスドルフ空間（Hausdorff空間）です。したがって、各 $K \in \mathcal{K}$ はそれに相対位相を入れるとコンパクトHausdorff空間になります。
これらを非交和として集めた直和位相空間を $Y = \bigsqcup_{K \in \mathcal{K}} K$ とします。
ここで、自然な写像 $q: Y \to X$ を次のように定義します。
$Y$ の元は、あるコンパクト部分集合 $K \in \mathcal{K}$ の元 $x$ として定まるので、そのまま $q(x) = x$ とします。
$X$ が $Y$ の商位相空間になることを示すには、$q$ が商写像であること、すなわち「$X$ の部分集合 $A$ が閉集合である $\iff q^{-1}(A)$ が $Y$ で閉集合である」を示せば十分です。
ここで、$X$ が距離化可能空間であるという前提を用います。
距離化可能空間は第1可算公理を満たします。第1可算空間においては、「点列閉集合」と「通常の閉集合」が一致します。これを利用して、$A$ が実際に $X$ において閉集合であることを示します。
$A$ の任意の収束する点列 $(x_n)_{n=1}^{\infty} \subset A$ をとり、その $X$ における極限を $x$ とします。
このとき、集合 $C = \{x_n \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{x\}$ を考えると、これは収束する点列とその極限点のみからなるため、$X$ のコンパクト部分集合になります。
したがって $C \in \mathcal{K}$ です。
前提より、$A \cap C$ は $C$ において閉集合です。
点列 $(x_n)$ はすべて $A \cap C$ に含まれており、$C$ 内で $x$ に収束するため、$A \cap C$ が閉集合であることから極限 $x$ も $A \cap C$ に含まれます。
よって $x \in A$ となり、$A$ は点列の極限について閉じている（点列閉集合である）ことが示されました。
前述の通り、$X$ は第1可算空間なので、点列閉集合であることは通常の閉集合であることと同値です。したがって、$A$ は $X$ において閉集合です。
以上より、$q: Y \to X$ は連続な全射であり、かつ商写像であることが示されました。
したがって、$X$ はコンパクトHausdorff空間の族 $\mathcal{K}$ の直和位相空間 $Y = \bigsqcup_{K \in \mathcal{K}} K$ の商位相空間と同相になります。 $\blacksquare$